L'inévitable théorème de Gödel.
C'est le même sournois imbécile (du moins son émanation, FD) qui sur le Debord off ne parvenait pas à comprendre que le théorème de Gödel (le théorème VI du mémoire de 1931, Gödel a démontré une masse de théorèmes, sa vie durant. En 1947 il corrigeait encore ses papiers de 1931. Voilà un homme qui se corrigeait toujours !) était un théorème mais que la proposition G n'était pas un théorème mais seulement une proposition. Le drame de cette malheureuse proposition est justement qu'elle ne parvient pas à devenir un théorème de l'arithmétique : elle n'est vraie que si elle n'est pas un théorème des mathématique, c'est à dire, elle n'est vraie que si elle est indémontrable dans l'arithmétique tout en étant une formule arithmétique régulièrement formée. Plus généralement : un système logico-mathématique qui se veut non contradictoire est forcément incomplet et un système qui se veut complet comporte nécessairement des énoncés contradictoires. Je donnais comme contre exemple de proposition vraie mais non vérifiable (non décidable) et non démontrée scientifiquement cette proposition G car le pseudo Occam, prétendant s'appuyer sur l'inévitable W., soutenait qu'il n'y avait de propositions ayant un sens que les propositions vérifiables et qu'il n'y avait de vraies que les propositions vérifiées scientifiquement. Effectivement toutes les propositions vérifiables ont un sens, mais ce n'est pas parce qu'elles sont vérifiables qu'elles ont un sens, c'est exactement le contraire, c'est parce qu'elles ont un sens qu'elles sont vérifiables***. Si le pseudo Occam avait été moins imbécile, c'est à dire s'il réfléchissait plus d'une minute et vingt sept secondes avant d'écrire, il aurait remarqué, lui qui avait prétendu sur le Debord off être un lecteur avisé du mémoire de Gödel, que mon contre exemple n'était pas valable. Mais son étude comparative du cheval et de l'hippocampe l'absorbe complètement.Les réponses à ces questions sont chez le Dr Torkel Franzén. Merci Dr Torkel Franzén.
Mais ici aussi (avec des erreurs, me semble-t-il) et sûrement sur de nombreux autres sites. En voilà encore un, non négationniste et non pédo-nazi. Il faut être un Scheisermann — comprenez un journaliste du Monde, journal dirigé par Edwy Benêt et l'américain Combinani, où le singe Minc peut à loisir grimper sur les tables. Pourquoi ces prostitués font-ils tant de cas des nazis, des pédophiles, des négationnistes, des pétainistes ? Simplement parce qu'il ont besoin, comme M. Lévy, de faire valoir. Sans ces derniers, ces baudruches ne sont rien, que des baudruches, comme dans un conte de Gripari — pour ne trouver que des sites nazis pédophiles négationnistes sur le Net. C'est étonnant ce qu'il y a de non pédophiles, de non nazis et de non négationnistes sur le Net. Gradus ad Galoisium (Gallois, deux fois recalé à Polytechnique puis chassé de Normale sup !) Encore un, non pédophile, non nazi et non négationniste ! (format Postscript. Pour le lire, téléchargez GhostScript par exemple) Quant à moi, je ne trouve que des thèses plus intéressantes les unes que les autres et des passionnés de Gödel ! Les Scheisermannen sont des provocateurs. Par qui sont-ils payés ? Comme déjà dit il y a cent cinquante ans par Balzac dans les Illusions perdues, lors du souper chez Florine : "Un journal n'est plus fait pour éclairer, mais pour flatter les opinions." Je vous laisse deviner lesquelles.
Les concepts de consistance et de complétude sont des concepts purement syntactiques, ce qui signifie qu'ils n'ont à voir qu'avec des règles formelles et des formules et n'impliquent en rien une quelconque notion de vérité ou de fausseté qui sont des concepts sémantiques.
— Ce qui n'est pas étonnant. Si, comme je l'ai pensé un moment, la notion de vérité de la proposition G avait joué un rôle dans la démonstration de l'incomplétude, Gödel ne nous l'aurait pas laissé ignorer et je n'aurais donc eu aucune question à me poser à ce sujet. D'ailleurs, il dit à la fin de son préambule où il esquisse la démonstration : "En développant désormais avec toute l'exactitude requise cette démonstration, il s'agira, entre autre choses, de remplacer la seconde des conditions citées — toute formule démontrable est vraie dans l'interprétation considérée — par une condition beaucoup plus faible et purement formelle
". —Plus précisément, qu'une théorie T soit consistante signifie qu'il n'y a aucune formule A telle que, à la fois A et sa négation ~A soient formellement dérivables dans T à partir des axiomes et en suivant les règles d'inférence ; et que T soit complète signifie que pour chaque formule close A (close, dont toutes les occurrences des variables sont liées, quantifiées, une telle formule est dite proposition) dans le langage de T, soit A, soit sa négation ~A, est formellement dérivable dans T. Ce qui est prouvé est seulement une assertion hypothétique : "si T est consistant, alors T est incomplet", ceci sans aucune référence à la vérité ou fausseté de la proposition indécidable. Ainsi, nous devons distinguer entre la phrase G de Gödel, démontrée indécidable sous certaines conditions (dont la consistance de T), et le théorème de Gödel, qui est l'assertion que G est indécidable dans T sous ces conditions. C'est le théorème de Gödel qui est prouvable dans T et non pas la phrase G de Gödel. Il est remarquable que l'hypothèse de la consistance d'un système est un hypothèse faible qui implique seulement que l'on ne peut prouver une proposition et son contraire dans ce système mais n'implique pas que la démonstration implique la vérité de la proposition. On peut prouver quelque chose de faux sans que le système soit inconsistant pour autant. (Dr Torkel Franzén en donne un exemple.) Seul importe que l'on ne puisse pas prouver aussi la négation de cette chose fausse — qui est une vérité ! — Une condition plus forte est la correction d'un système, condition qui implique que la démonstration implique la vérité, autrement dit qui implique que l'on ne peut démontrer des choses fausses. On sait démontrer les théorèmes d'incomplétude sous cette condition (Smullyan). L'ironie du premier théorème de Gödel est de montrer que sous l'hypothèse de la consistance on ne peut démontrer une certaine chose vraie alors qu'il est permis et possible de démontrer des choses fausses ! Ceci dit, de la démonstration du théorème de Gödel, et sous l'hypothèse que l'arithmétique soit consistante, on déduit, certes non formellement et non dans l'arithmétique mais la méta-arithmétique, mais scientifiquement, que la formule arithmétique G est vraie : en démontrant l'indécidabilité de la formule arithmétique G, Gödel démontre, par la même occasion, la vérité de l'assertion méta-arithmétique "La formule arithmétique G est non démontrable" puisque cette assertion se trouve vérifiée (au sens où la pluie, quand elle tombe, vérifie la proposition "il pleut" qui devient alors vraie, ce qui n'a rien de mathématique) par la démonstration de Gödel
— plus précisément cette assertion méta-arithmétique affirme « La formule arithmétique qui a n pour numéro de Gödel est non démontrable ». Et l'habile Gödel s'arrange pour que la formule arithmétique qui traduit dans l'arithmétique l'assertion méta-arithmétique « La formule arithmétique qui a n pour numéro de Gödel est non démontrable » ait pour numéro de Gödel... n, grâce à un procédé nommé diagonalisation. Ce procédé consiste, par exemple, dans une phrase en français dotée d'une variable libre x telle que : « Pierre est en train de lire x », à remplacer la variable x par la citation de la phrase elle-même, comme ceci : « Pierre est en train de lire "Pierre est en train de lire x" ». Cette phrase n'est pas encore autoréférente après cette première substitution. (
Lettre n° 40, format PDF, de Bernard Vuilleumier). Mais si, dans cette autre phrase « Pierre est en train de lire la diagonalisation de x » où figure une référence au procédé que nous venons de définir (diagonalisation de), je remplace la variable x par cette phrase même, comme ceci : « Pierre est en train de lire la diagonalisation de "Pierre est en train de lire la diagonalisation de x" » ; et que je me demande quel est le nom de la nouvelle phrase obtenue, je trouve que ce nom est... [Diagonalisation de « Pierre est en train de lire la diagonalisation de x »] puisque, en écrivant la phrase : « Pierre est en train de lire la diagonalisation de "Pierre est en train de lire la diagonalisation de x" », j'effectue précisément... la diagonalisation de « Pierre est en train de lire la diagonalisation de x », selon notre définition de la diagonalisation d'une phrase ! Si, pour simplifier, je désigne par k ce nom, le phrase qui a désormais pour nom k devient : « Pierre est en train de lire k ». La phrase est autoréférente. Elle cite son propre nom. Le nom de la phrase joue ici le rôle que le numéro de Gödel de la formule indécidable joue dans la démonstration de Gödel et la référence au procédé « diagonalisation de » joue le même rôle que la fonction Subst(abv) dans cette même démonstration. On peut faire encore plus court d'ailleurs : notre définition de la diagonalisation posée, nommons A la phrase « Pierre est en train de lire la diagonalisation de x » (une phrase entre guillemet est la même chose que son nom, c'est donc déjà son nom que nous manipulions plus haut, sans le dire) et, dans cette phrase A, remplaçons la variable x par le nom A de la phrase A. Nous obtenons « Pierre est en train de lire la diagonalisation de A ». Quel est le nouveau nom de la nouvelle phrase après cette substitution ? Ce nouveau nom est diagonalisation de A puisque en écrivant cette phrase j'effectue la diagonalisation de A selon notre définition. Il faut appeler les choses par leur nom, n'est-ce pas ? La fonction Subst donne, elle, le nouveau numéro de Gödel d'une formule (à une variable libre) quand, dans cette formule, on remplace le signe représentant cette variable par le signe représentant le numéro de Gödel de cette formule. —Or puisque, premièrement, la formule arithmétique G est la traduction, dans l'arithmétique, de l'assertion méta-arithmétique "La formule arithmétique G est non démontrable" et que, secondement, grâce au codage de Gödel, cette traduction, dans l'arithmétique, des assertions sur l'arithmétique garantit que la vérité d'une assertion méta-arithmétique entraîne la vérité de la formule arithmétique qui la traduit dans l'arithmétique (et réciproquement) — de même que, par exemple, la géométrie analytique de Descartes permet de projeter la géométrie sur l'algèbre, en garantissant que la vérité d'une assertion géométrique entraîne la vérité de sa projection algébrique (et réciproquement ce qui permet de résoudre les difficultés géométriques dans l'algèbre. D'ailleurs Gödel arithmétisa la métamathématique afin de pouvoir effectuer, plus facilement (!) les démonstrations métamathématiques, en général, en les effectuant dans l'arithmétique) — il s'ensuit donc que la vérité de l'assertion méta-arithmétique "La formule arithmétique G est non démontrable" entraîne la vérité de la formule arithmétique G. Voilà qui est prouvé (d'après Nagel et Newman). Non seulement la formule arithmétique G est vraie, mais il est prouvé qu'elle est vraie, bien qu'elle demeure non prouvable dans le formalisme de l'arithmétique. Donc, mon contre exemple n'était pas valable. (Curiosité : un autre théorème d'incomplétude, le théorème de Muray "Céline est déjà le seul, parmi les écrivains devenus des "classiques", dont il ne peut exister d'uvres complètes")
Comment introduire l'autoréférence dans l'arithmétique ?
Comment obliger une formule de l'arithmétique à "affirmer" ses propres propriétés (et non plus seulement des propriétés des nombres entiers) de la même manière que Murat pouvait affirmer "j'ai le cul rond comme une pomme" ? Plus généralement, comment obliger une formule de l'arithmétique à "parler" des formules de l'arithmétique ? Normalement, les formules de l'arithmétique, "parlent" des nombres naturels et seulement des nombres naturels. Comment faire pour exprimer dans l'arithmétique aussi bien la phrase "Deux est plus grand que un" qui porte sur une propriété des nombres naturels, que la phrase "On peut prouver que deux est plus grand que un", phrase qui porte sur l'arithmétique qui est la théorie des nombres naturels. Puisque les formules de l'arithmétique "parlent" des nombres naturels, la solution est donc évidente (aujourd'hui). Il suffit de coder les formules de l'arithmétique, ainsi que les concepts métamathématiques qui nous intéressent tels que "est une proposition démontrable", rédigées auparavant dans un langage formalisé adéquat, c'est à dire capable d'exprimer non seulement les formules de l'arithmétique mais aussi des concepts métamathématiques tels que "est une formule démontrable"(on ne pourrait coder ces formules si elles étaient rédigées dans le langage naturel. Ce qui demande une ligne et demie en langage naturel peut demander, par exemple, trente trois pages en langage formalisé mais l'avantage de celui-ci est qu'il est lisible et exécutable par une machine, c'est à dire qu'il est mécanisable — dans un système formel "le raisonnement peut être remplacé par des règles mécaniques." (Gödel) — Déjà Leibniz avec son moulin montrait dans la Monadologie que le mécanisme ne pouvait rendre compte de la perception, voilà maintenant que Gödel montre que l'arithmétique n'est pas mécanisable et donc que le mécanisme ne saurait rendre compte d'une chose "aussi simple" que l'arithmétique, c'est à dire qu'une machine ne saurait écrire toutes les propositions de l'arithmétique à partir des axiomes en appliquant les règles d'inférence. Et, là est toute l'ironie, comment Gödel prouve-t-il que l'arithmétique n'est pas mécanisable ? En arithmétisant la méta-arithmétique ce qui permet d'exprimer des assertions sur l'arithmétique dans le formalisme de l'arithmétique même (ironie car il faut se souvenir que l'arithmétisation de tout fut le dada des formalistes. Autrement dit, la démonstration de Gödel est une démonstration ad hominem puisqu'il se sert des méthodes de l'adversaire pour le réfuter) ! Grâce à cette arithmétisation, il peut construire une formule arithmétique autoréférente qui dit d'elle même qu'elle est non prouvable et il peut démontrer qu'elle est non prouvable et non réfutable (on ne peut prouver sa négation) ; c'est à dire qu'elle est une proposition arithmétique que l'on ne peut déduire des axiomes par l'application des règles d'inférence — ce qui serait prouver — ; c'est à dire une proposition arithmétique qu'une machine, utilisant les seuls axiomes et règles de l'arithmétique, ne saurait écrire, quoique une telle machine soit capable de décider toujours si une formule est une formule arithmétique ou non. En plus, quand on a prouvé qu'une proposition n'est pas calculable par une machine à partir d'un nombre fini donné d'axiomes, et que l'on a prouvé que sa négation ne l'est pas non plus, quand on a prouvé donc que cette proposition est indécidable avec ce nombre fini donné d'axiomes, on peut faire un choix et décider que cette proposition ou sa négation est un nouvel axiome du système ce qui donne deux systèmes différents possibles résultant de ce choix, ce qui permet de démontrer dans chaque système d'autres propositions qui jusque là ne l'était pas, mais... ce choix ne peut être effectué récursivement une fois pour toute, autrement dit, ce choix ne peut être calculé par une machine ; ce qui signifie, précisément, que ce choix est bien un choix (mais s'il est binaire, il peut être tiré à pile ou face, s'il est n-aire, il peut être tiré par la machine du Loto, à la télévision, mais cela n'est pas calculer). En fait je suppose que dans ce cas les mathématiciens préfèrent choisir en fonction des conséquences du choix. Ces conséquences seront intéressantes seulement si la proposition l'est, ce qui n'est pas le cas de celle de Gödel, dont le seul intérêt est de démontrer le théorème de Gödel, mais qui est le cas de l'hypothèse du continu, par exemple — il n'y a pas de puissance intermédiaire entre celle du dénombrable et celle du continu ; autrement dit, la puissance du continu est égale à celle de l'ensemble des parties du dénombrable. On démontre que si le système d'axiomes de Zermelo et Fraenkel est consistant, alors le système, qui résulte de l'ajout de l'hypothèse du continu à titre d'axiome, est consistant —. Gödel a d'abord montré que la négation de cette hypothèse n'était pas calculable dans le système ZF et s'est abstenu, à son habitude pourrait-on dire, de publier ce résultat. Puis, Paul Cohen a démontré que cette hypothèse ne l'était pas non plus. Donc, il faut choisir... "à la main". Et si l'on choisit la négation, il faut choisir combien de puissances intermédiaires il y aura. C'est l'abondance. Que penser de Marx (et surtout des marxistes. De toute la complexité et des contradictions de Marx, cette engeance n'a retenu que le mécanisme) qui prétendit rendre compte du monde par le mécanisme (malgré ses protestations dialectiques) ! Comment le monde pourrait-il être un mécanisme puisque, dans ce monde, une machine ne peut pas écrire toutes les propositions de l'arithmétique. C'est là un trou de non mécanisme dans le mécanisme. Le choix est un trou dans le mécanisme. Ce que je nomme réductionnisme est la prétention à vouloir tout expliquer par le mécanisme, c'est à dire la prétention à vouloir négliger les trous, ce qui me choqua tant quand je lus Marx. Je préfère encore Hegel qui explique tout par le charabia. Parfois on tombe sur une phrase extraordinaire. (chez Marx aussi, heureusement, ainsi : l'argent est la vraie communauté ; avec l'argent, le travail ne connaît plus de borne, la division du travail ne connaît plus de limites ; l'argent est l'esprit d'un monde sans esprit ; l'homme, c'est le monde l'homme etc.). C'est pourquoi je dis souvent : "Ne cherchez pas à comprendre ce que dit Hegel, contentez vous d'utiliser ce qu'il dit." Hegel est le véritable inventeur de l'écriture automatique. Sa philosophie de la nature est proprement surréaliste ! Le mécanisme ne peut rendre compte que du mécanisme, et seule la société peut rendre compte de la société — Durkheim),
de telle façon que par ce codage elles deviennent des nombres naturels, qu'à chaque signe primitif de l'arithmétique corresponde un seul nombre naturel, qu'à chaque formule de l'arithmétique corresponde un seul nombre naturel, qu'à chaque suite de formules de l'arithmétique (une démonstration arithmétique est une suite de formules dont la dernière est la formule à démontrer) corresponde un seul nombre naturel. Ainsi, les formules de l'arithmétique qui manipulent des nombres naturels pourront manipuler des nombres naturels qui seront des références à des signes primitifs, des formules arithmétique et des suites de formules arithmétiques. Ainsi certaines formules de l'arithmétique seront devenues des assertions sur des formules de l'arithmétique et des suites de formules de l'arithmétique. Si le codage est bien conçu, on peut, pour toute formule, calculer son nombre de Gödel et, inversement, pour tout nombre de Gödel (on peut aussi facilement savoir si un nombre naturel quelconque est nombre de Gödel ou non) on peut rétablir la formule correspondante en faisant fonctionner les règles de codage à l'envers. Enfin, par ce procédé, des propriétés méta-arithmétiques seront exprimées par des propriétés purement arithmétiques. Par exemple, dire que "une formule de nombre de Gödel g1 contient la formule de nombre de Gödel g2" (propriété méta-arithmétique) revient à affirmer que "g2 est un diviseur de g1" (propriété purement arithmétique). Réciproquement : si g1 modulo g2 égale zéro (formule arithmétique qui exprime que g2 est un diviseur de g1), on peut affirmer que : la chaîne de caractères (ce qu'est toute formule) de nombre de Gödel g2 contient la chaîne de caractères de nombre de Gödel g1.
Soient C(x) et B deux formules de l'arithmétique. Désignons par la notation #gB le nombre de Gödel de la formule B. Si j'écris C(#gB) je peux considérer que j'ai écrit en fait l'assertion suivante : « la formule dont le nombre de Gödel est #gB possède la propriété C" ou plus brièvement « la formule B possède la propriété C ". Maintenant, si nous pouvons prouver que l'on ne peut prouver B que si et seulement si on peut prouver C(#gB), alors nous pourrons considérer que la formule B « affirme » qu'elle possède la propriété C. Voilà donc la manière très prosaïque dont G dit « je » (il me semble que c'est ce qu'on pourrait appeler une autoréférence aidée). Le Dr Karlis Podniek démontre, en anglais ou en russe, que pour toute propriété des formules de l'arithmétique nous pouvons construire une formule qui « affirme » qu'elle possède cette propriété. C'est le lemme de l'autoréférence. Détail amusant : il est prouvé qu'une formule qui « affirmerait » qu'elle est démontrable est effectivement démontrable !
Cette autoréférence permet de construire dans l'arithmétique des paradoxes, et fort heureusement l'arithmétique s'avère incapable de prouver ou de réfuter ces formules paradoxales. Où irait-on sinon ? Incomplète soit ! mais honnête ! Telle est l'arithmétique. Le paradoxe introduit par Gödel est le suivant : la formule arithmétique G n'est vraie que si, et seulement si, elle n'est pas un théorème de l'arithmétique. Pour cela, il suffit de construire une formule arithmétique qui affirme « je ne suis pas prouvable ». Notez que cette formule allie autoréférence et négation. Cependant aucune formule arithmétique ne peut exister qui affirmerait « je ne suis pas vraie » car un autre célèbre théorème (Tarski) affirme que la vérité arithmétique ne peut pas être exprimée dans l'arithmétique. L'ensemble des numéros de Gödel de toutes les formules vraies de l'arithmétique n'est pas un ensemble arithmétique (ensemble récursivement dénombrable, c'est à dire exprimable par une formule arithmétique, tel par exemple l'ensemble des nombres pairs : $v2(v1=2.v2), formule à une seule variable libre, c'est à dire non quantifiée, v1) tandis que l'ensemble des numéros de Gödel de toutes les formules prouvables de l'arithmétique est un ensemble arithmétique. Autrement dit, le concept « est une phrase arithmétique vraie " n'est pas exprimable dans l'arithmétique tandis que le concept « est une phrase arithmétique prouvable " l'est. Gödel, dans une lettre de 1966, dit de ce théorème (qu'il avait déjà découvert pour sa part en 1930, sans le publier) : « C'est ce théorème qui est la vraie raison de l'existence de propositions indécidables dans les système formels contenant l'arithmétique ». Un des mérites du théorème de Gödel est justement d'attirer l'attention sur la différence entre vérité et prouvabilité. Gödel avait bien vu, en 1931, que l'existence d'un énoncé indécidable dans un système formalisant l'arithmétique élémentaire découle de l'impossibilité de définir, dans ce système, la notion de « vérité arithmétique », alors que la notion de « théorème arithmétique » y est, elle, bien évidemment définie. Ceci dit, le Dr Torkel Franzén montre que l'on peut prouver l'incomplétude de l'arithmétique formalisée sans recourir à une proposition auto référentielle (ce n'est pas l'autoréférence qui est essentielle pour ce genre de preuve mais la diagonalisation). Enfin, c'est une bonne chose que l'arithmétique soit incapable de prouver sa cohérence (second théorème d'incomplétude de Gödel) car le propre d'un système incohérent étant de pouvoir prouver ce qui lui plaît (ex falso quod libet), pourquoi un tel système se priverait-il de prouver sa cohérence ? Donc une telle preuve ne prouverait rien du tout (Cette remarque de Smullyan me surprend puisque, par exemple, la consistance de la logique propositionnelle est prouvée. Quel est ce mystère ? Il n'y a pas de mystère, la consistance de la logique propositionnelle n'est pas prouvée dans le pauvre formalisme de cette logique. Dans son mémoire, Gödel note d'ailleurs que son second résultat n'entre pas en contradiction avec les exigences de Hilbert qui demandait seulement un preuve finitiste.) Non seulement honnête, mais modeste aussi. L'arithmétique est vraiment bonne fille.
Il y avait un contre exemple beaucoup plus simple de propositions scientifiques, vraies, non démontrées, et néanmoins pleines de sens : les cinq axiomes de la géométrie d'Euclide ou les cinq axiomes de l'arithmétique de Peano, axiomes qui comportent en plus trois termes non définis mais supposés connus (nombre, zéro, successeur immédiat de), les cinq axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (encore deux sites non pédophiles, non nazi, non négationniste, non racistes et même pas fascistes). Les axiomes sont des propositions décrétées vraies et choisies précisément pour leur sens et les conséquences de ce sens. Selon la manière dont on choisira le cinquième axiome de la géométrie on aura soit la géométrie euclidienne, soit la géométrie hyperbolique, soit la géométrie elliptique. Tous les écoliers depuis deux mille ans ont connu cet axiome et l'ont trouvé pleinement sensé, tellement sensé quoique non démontré que deux mathématiciens (et même certainement plus de deux) ont perdu leur vie en voulant prouver cet axiome en prouvant l'absurdité de sa négation. Or sa négation n'est pas absurde puisqu'elle conduit non à des contradictions mais aux géométries hyperbolique et elliptique. Le sens de cet axiome était tellement fort que ces mathématiciens on refusé d'admettre les résultats auxquels ils aboutissaient parce que ces résultats étaient peu respectueux des convenances. Il a fallu attendre M. FC pour qu'un écolier prétende que les propositions non scientifiquement démontrées ne pouvaient être vraies et n'avaient pas de sens.
1. Etant donnés deux points A et B, il existe une droite passant par A et B;
2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite passant par A et B
(compte tenu du premier postulat, elle est unique)
3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut décrire un cercle de centre A passant par B;
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux;
5. Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite.
Comment casser quatre pattes à un canard.
Mais il n'est pas besoin de chercher si loin : la proposition "Les canards ont quatre pattes" bien que fausse a un sens parfaitement clair. Parfois, d'ailleurs, des canards naissent avec quatre pattes et des moutons avec cinq. La proposition "Il existe des canards à quatre pattes" est donc vraie puisque scientifiquement prouvée par la canardologie. Dans le langage ordinaire, "Les canards" signifie "Les canards, en général" et non "Tous les canards". "Les canards" sous entend la possibilité de cas particuliers. Connaître la l'usage, c'est penser. Le langage est amical (l'ennui est qu'il est familier et que le familier n'est pas pour autant connu). Nous sommes, donc je pense. Le fait que le langage ordinaire permette de faire des erreurs est une bénédiction. En laissant à votre interlocuteur la possibilité de faire des erreurs — ce que voulaient supprimer les tenants de la solution finale en mathématique et, dans les faits malgré leurs déclarations de principes, les situationnistes — vous vous donnez la chance de pouvoir les corriger, à charge de revanche, et corriger une erreur est toujours très enrichissant. C'est pourquoi je dis merci, crétins, car je suis poli et bien élevé. Je pense que quelqu'un qui se corrige toujours et surtout qui a apporté publiquement la preuve qu'il était capable d'envisager qu'il avait tort, ce qui est très rare et était tout à fait impossible pour Newton, est parfaitement qualifié pour corriger les gens qui ne se corrigent jamais (il ne faudrait pas que ces bourriques s'imaginent que du fait qu'elles ne se corrigent jamais, elles sont les égales de Newton. C'est permis seulement quand on s'appelle Newton qui, de plus, ne s'en vantait pas.) Il ne faudrait pas non plus que ces bourriques s'imaginent qu'elles pourraient m'obliger à leur répondre "à première demande" à leur moindre sottise et encore moins m'obliger à les lire. Comme l'a spirituellement noté von Nichts, les réponses de Voyer sont comme les couilles, certains en ont, d'autres non. Je ne réponds que si je juge que cela peut m'être utile, de même que je ne lis que si j'estime que cela peut m'être profitable. Seule m'intéresse la réfutation du réductionnisme de Marx. Je suis persuadé que l'avenir du genre humain dépend de la réfutation du réductionnisme de Marx, de ce réductionnisme là en particulier et non de tout réductionnisme parce que c'est le réductionnisme d'un hégélien, parce que Marx, après Hegel, prétendait traiter des êtres collectifs. Hegel, lui, entendait expliquer le simple par le compliqué, Dieu n'est pas simple. Selon Hegel, c'est un sacrilège de prétendre que Dieu est simple. (J'ai pensé, à tort, évidemment, que l'I.S. poursuivait la même chose.) Cela fait quarante ans que je travaille là dessus. Le reste m'indiffère, totalement ; le monde peut crouler, le plus vite sera le mieux, j'aimerais bien voir ça (prière exaucée), allez donc pleurer sur le maïs transgénique, esclaves. C'est le principe du tableau noir. Chacun est pour chacun un tableau noir sur lequel on peut écrire. Mais on est totalement libre de ne pas écrire et totalement libre de ne pas lire (et le fait de ne pas lire dispense, par la même occasion, de répondre.) Le despotisme consiste dans l'obligation de lire et d'écrire. Le monde est une ardoise d'écolier. Socrate fut le plus grand pédéraste de toute l'histoire de l'humanité.